martes, 19 de octubre de 2010

MATEMATICA Inecuación con valor absoluto.02


Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto

Nuestro objetivo en este capítulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma $ax+b$, donde $a$ y $b$ son constantes reales con $a\neq0$, y $x$ es una variable real. Para esto conviene recordar la definición de valor absoluto, la cual establece que:

Definición

Para cada número real $x$, se define su valor absoluto y se denota $\vert x\vert$, de la siguiente manera:
a.$\vert x\vert = x\,\, \mbox {si}\,\, x \geq 0$ ó
b. si

Esta definición frecuentemente se denota de la siguiente manera:

\begin{displaymath}\vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} x & \mbox{ si } & x \geq 0\\ -x & \mbox{ si } & x < 0 \end{array} \right.\end{displaymath}

Aplicando esta definición o expresiones de la forma $ax+b$ se tiene:

\begin{displaymath}\vert ax+b\vert = \left\{\begin{array}{lcl} ax+b & \mbox{ si... ...\geq 0\\ -(ax+b) & \mbox{ si } & ax+b < 0 \end{array} \right.\end{displaymath}

Ejemplo

Usando la definición de valor absoluto se tiene:

$\vert x+5\vert = \left\{\begin{array}{lcl} x+5 & \mbox{ si } & x+5 \geq 0\\ \\ \par -(x+5) & \mbox{ si } & x+5 < 0 \end{array} \right.$

$\mbox{pero:}$$x+5\geq 0$$\Leftrightarrow$$x\geq -5$
$\mbox{y}$$x+5<0$$\Leftrightarrow$$x<-5$

$.^..\vert x+5\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \,\,x+5 & \mbox{ si } & x \geq -5\\ \\ \par -(x+5) & \mbox{ si } & x < -5 \end{array} \right.$

Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta información en la tabla siguiente:


Ejemplo

$\vert x-7\vert = \left\{\begin{array}{lcl} x-7 & \mbox{ si } & x-7 \geq 0\\ \\ \par -(x-7) & \mbox{ si } & x-7 < 0 \end{array} \right.$

$\mbox{pero:}$$x-7\geq 0$$\Leftrightarrow$$x\geq 7$
$\mbox{y}$$x-7<0$$\Leftrightarrow$$x<7$

$.^..\vert x-7\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \,\,x-7 & \mbox{ si } & x \geq 7\\ \\ \par -(x-7) & \mbox{ si } & x < 7 \end{array} \right.$

y en forma resumida podemos escribir:


Ejemplo

$\vert-2x+3\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \,\,-2x+3 & \mbox{ si } & -2x+3 \geq 0\\ \\ -(-2x+3) & \mbox{ si } & -2x+3 < 0 \end{array} \right.$

$\mbox{pero:}$$-2x+3\geq 0$$\Leftrightarrow$$-2x\geq -3$,$\mbox{o sea}$$x\leq {3\over{2}}$
$\mbox{y}$$-2x+3<0$$\Leftrightarrow$$-2x<-3$,$\mbox{o sea}$ {3\over{2}}$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img43.gif" align="middle" border="0" width="36" height="28">

$.^..\vert-2x+3\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -2x+3 & \mbox{ si } & {x \geq ... ...ver{2}}}\\ \\ -(-2x+3) & \mbox{ si } & {x < {3 \over{2}}} \end{array} \right.$
y en forma resumida podemos escribir:

Ejemplo

$\vert-3-5x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -3-5x & \mbox{ si } & -3-5x \geq 0\\ \\ \par -(-3-5x) & \mbox{ si } & -3-5x < 0 \end{array} \right.$

$\mbox{pero:}$$-3-5x\geq 0$$\Leftrightarrow$$-5x\geq 3$,$\mbox{o sea}$$x\leq {-3\over{5}}$
$\mbox{y}$$-3-5x<0$$\Leftrightarrow$$-5x<3$,$\mbox{o sea}$ {-3\over{5}}$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img55.gif" align="middle" border="0" width="44" height="28">

$.^..\vert-3-5x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -3-5x & \mbox{ si } & {x \geq ... ...5}}}\\ \\ \par -(-3-5x) & \mbox{ si } & {x < {-3 \over{5}}} \end{array}\right.$

y en forma resumida podemos escribir:



 Propiedades del valor absoluto

Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.

Propiedad 1

$\forall x,\, x \in I\! \! R:\,\,\vert x\vert \geq 0$

Demostración


$x\, \in \, I\! \! R:\,\, \vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -x & \mbox{ si } & {x \geq 0}\\ \\ \par -x & \mbox{ si } & {x < 0} \end{array} \right.$


Hay dos posibles casos:
Caso 1: $x\geq0$


Caso 2: $x<0$

0$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img66.gif" align="middle" border="0" width="295" height="26">


Propiedad 2

Si $x \in I\! \! R\mbox{ y }\vert x\vert = 0 \mbox{ entonces } x = 0$

Demostración:(ejercicio para el estudiante)


Propiedad 3

Si $x\, \in \, I\! \! R,\,y\, \in \, I\! \! R\mbox { entonces }\vert x*y\vert = \vert x\vert\,\vert y\vert$

Demostración

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

en particular:

$\vert a\vert = \sqrt{a^{2}};\,\, \forall a,\, a\, \in \, I\! \! R$

Usando esta definición se tiene que:

Propiedad 4

$\forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,\vert-x\vert = \vert x\vert$

Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 5

Si entonces

Demostración

Aquí también usaremos el hecho de que:

$\forall a, a\, \in \, I\! \! R:\, \vert a\vert = \sqrt{a^{2}}$

Si $ x\, \in \, I\! \! R,\,y\, \in \, I\! \! R,\,y\neq0 \mbox{ entonces } {x\over{y}}\, \in \, I\! \! R$

$ .^..{\left\vert x\over {y}\right\vert} = \sqrt{\left(x \over{y}\right)^{2}} = ... ...{2}} = {\sqrt{x^{2}}\over{\sqrt{y^{2}}}} = {\vert x\vert \over {\vert y\vert}}$

Propiedad 6

$ \forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,\vert x\vert^{2} = x^{2}$

Demostración

$ \forall x,\, x\, \in \, I\! \! R: \,$, se tiene que:


Propiedad 7

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo:

$ \vert x\vert = k\,\,\Leftrightarrow\,\,x = k\,\,\mbox{ \'{o} }\,\,x = -k$

Interpretación geométrica de esta propiedad

Demostración

Como

$ \vert x\vert = \sqrt{x^{2}},\mbox{ se tiene: }$

$\vert x\vert$

$=$$k$
$\Leftrightarrow$$ { \sqrt{x^2}}$$=$$k$
$\Leftrightarrow$$=$$k^2$
$\Leftrightarrow$$x^2$$=$$k^2$
$\Leftrightarrow$$x^2-k^2$$=$$0$
$\Leftrightarrow$$(x-k)(x+k)$$=$$0$
$\Leftrightarrow$$x=k$$\mbox{ o }$$x=-k$


$.^..\;\;\;\vert x\vert=k\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x=k \mbox{ o } x=-k$


Propiedad 8

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:

$ \vert x\vert < k\,\,\Leftrightarrow\,\,-k < x < k$

Demostración

Como $ \vert x\vert = \sqrt{x^{2}}$, se tiene:
$\vert x\vert$$<$$k$
$\Leftrightarrow$$ { \sqrt{x^2}}$$<$$k$
$\Leftrightarrow$$<$$k^2$
$\Leftrightarrow$$x^2$$<$$k^2$
$\Leftrightarrow$$x^2-k^2$$<$$0$
$\Leftrightarrow$$(x-k)(x+k)$$<$$0$

Resolviendo esta inecuación:

De aquí se tiene:

Interpretación geométrica de esta propiedad:


Propiedad 9

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:

k\,\,\Leftrightarrow\,\,x > k\mbox{ o }x < -k$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img105.gif" align="middle" border="0" width="160" height="26">

Demostración
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.

Interpretación geométrica de esta propiedad:



Propiedad 10

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:

i.
ii.

Demostración


Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8.
Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.

Interpretación geométrica de esta propiedad:

i.

ii.


Propiedad 11

$\forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,-\vert x\vert \leq x \leq \vert x\vert$

Demostración

Sabemos que $ { \forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,\vert x\vert} = \left\{\begin{array}{lc... ... si } & {x \geq 0}\\ \\ \par -x & \mbox{ si } & {x < 0} \end{array} \right.\\ $

CASO 1: $x\geq0$

(*)


Además como entonces $ { -\vert x\vert \leq 0}$ y como $x\geq0$ entonces: (**)
Así por (*) y (**) se tiene que:

(I)

CASO 2: $x<0$

$x<0$$\Rightarrow$$\;\;\;\vert x\vert$$=$$-x$
$\Rightarrow$$-\vert x\vert$$=$$\;\;\;x$
$.^..$$-\vert x\vert$$\leq$$\;\;\;x$$(***)$

Además como $ x < 0\mbox{ y }\vert x\vert \geq 0$ entonces
(****)

Así por (***) y (****) se tiene que:

(II)

Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:

$\forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,-\vert x\vert \leq x \leq \vert x\vert$


Propiedad 12 (desigualdad triangular)

Si $x\, \in \, I\! \! R,\,\mbox{ y }\, \in \, I\! \! R\mbox { entonces }\vert x + y\vert = \vert x\vert + \vert y\vert$
Demostración

Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:

LEMA:

Sean $ a \in I\! \! R,\,b \in I\! \! R,\,c \in I\! \! R,\,d \in I\! \! R$
Si $ a \leq b \mbox{ y }c \leq d\mbox{ entonces }{a+c} \leq {b+d}$

Demostración (del lema)

Supongamos que $ a \leq b \mbox{ y }c \leq d$, hay que demostrar que ${a+c} \leq {b+d}$

i.$ {a \leq b}\,\,\Rightarrow\,\,{a+c} \leq {b+c}$
ii.$ {c \leq d}\,\,\Rightarrow\,\,{b+c} \leq {b+d}$

por i. y ii. se tiene que ${a+c} \leq {b+d}$

Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades $ a \leq b \mbox{ y }c \leq d$ podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente:

Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.


Demostración de la desigualdad triangular

$ \forall x,\, x\, \in \, I\! \! R,\,\forall y,\, y\, \in \, I\! \! R$, se tiene que:

Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:

, por la propiedad (10. i)

Ecuaciones que involucran valor absoluto

A continuación resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los en que no sea posible aplicar alguna de dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando la definición de valor absoluto. Además es importante tener en cuenta que toda ecuación que involucre valor absoluto se puede resolver usando la definición.

Ejemplo 1

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.$\vert 2x-3\vert = 7$
2.$\vert x\vert = 5$
3.
4.
5.$\vert 2x+3\vert = -9$
6.$\vert x+3\vert = 5+x$
7.$\vert 1-3x\vert + x = -3$
8.$3\vert x+4\vert - 2 = x$
9.$ \sqrt[4]{(2x-15)^4} = 10$
10.$\sqrt{(3-x)^2} = 5$
11.$ \sqrt{(3-2x)^2} + x = 3$
12.$ 2\sqrt[4]{(5-4x)^4} = x+2$

Solución

1.$\vert 2x-3\vert = 7$

Por la propiedad 7

$\vert 2x-3\vert = 7$o
o
o

Observación
Como dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden resolver usando la definición. Para ilustrar esto resolveremos la ecuación anterior usando la definición de valor absoluto.


$\vert 2x-3\vert = 7$; por definición
$ \vert 2x-3\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;2x-3 & \mbox{ si } & 2x-3 \geq 0\\ \\ \par -(2x-3) & \mbox{ si } & 2x-3 < 0 \end{array} \right.$

$\mbox{pero:}$$2x-3\geq 0$$\Leftrightarrow$$2x\geq 3$;$\mbox{o sea}$$x\geq {3\over{2}}$
$\mbox{y}$$2x-3<0$$\Leftrightarrow$$2x<3$;$\mbox{o sea}$$x< {3\over{2}}$

Por lo tanto: $ \vert 2x-3\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;2x-3 & \mbox{ si } & x \g... ...pace{0.1cm}\\ -(2x-3) & \mbox{ si } & x < {3 \over 2}\\ \end{array} \right.$

Con esta información construimos la tabla siguiente:


Así el conjunto solución $S$, de $\vert 2x-3\vert = \mbox{ es } S_{1} \cup S_{2}, \mbox { o sea }S = \{$-2,5$\}$
2.$\vert x\vert = 5$

Por la propiedad 7:

$\vert x\vert = 5 \Leftrightarrow x = 5 \mbox{ o }x = -5$

$.^..S = \{-5,5\}$

3.

Por la propiedad 1, , siempre es mayor o igual que cero, por lo tanto:

!Nunca!

Así $S = \emptyset$

4.

Por la propiedad 2:

img20a$\Leftrightarrow$$x+8$$=$$\;\;0$
$\Leftrightarrow$

$x$

$=$$-8$

5$\vert 2x+3\vert = -9$

Por la propiedad 1, $ \vert 2x + 3\vert \geq 0, \forall x, x \in I\! \! R$

$.^..\;\;\; \vert 2x + 3\vert = -9 \;\;\; \mbox { !\lq Nunca!}$

Así $S = \emptyset$

6.$\vert x + 3\vert = x + 5$

Nota: En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos de la siguiente manera:

\begin{displaymath}\vert x + 3\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x + 3 &... ...\\ -(x + 3) & \mbox{ si } & x + 3 < 0 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}

o sea:

\begin{displaymath}\vert x + 3\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x + 3 &... ...\\ \\ -(x + 3) & \mbox{ si } & x < -3 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}

Con esta información construimos la siguiente tabla:

Así el conjunto solución S de es

7.$\vert 1-3x\vert + x = -3$

En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:

\begin{displaymath}\vert 1 - 3x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} 1 - 3x & \mbox... ... -(1 - 3x) & \mbox{ si } & 1 - 3x < 0 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}
$\mbox{pero:}$$1 - 3x \geq 0$$\,\Leftrightarrow$$\,\,-3x \geq -1$,$\mbox{o sea}$$ x\leq {1\over{3}}$
$\mbox{y}$$1 - 3x < 0$$\,\Leftrightarrow$$\,\,-3x < -1$,$\mbox{o sea}${1\over{3}}$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img209.gif" width="36" align="middle" border="0">

{1\over{3}}\\ \end{array}\right.\end{displaymath}" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img210.gif" width="210" border="0">

Con esta información construiremos la siguiente tabla:

Así el conjunto solución $ S \mbox{ de }\vert 1 - 3x\vert + x = -3 \mbox{ es }S_{1} \cup S_{2} \mbox{ o sea }S = \emptyset$

8.$3\vert x+4\vert - 2 = x$

En este caso:

\begin{displaymath}\vert x + 4\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x + 4 &... ...\\ -(x + 4) & \mbox{ si } & x + 4 < 0 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}

o sea:

\begin{displaymath}\vert x + 4\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x + 4 &... ...\\ \\ -(x + 4) & \mbox{ si } & x < -4 \\ \end{array}\right.\end{displaymath}

Con esta información construimos la siguiente tabla:

De aquí se tiene que el conjunto solución $ S \mbox{ de }\vert x - 4\vert - 2 = x \mbox{ es }\emptyset \mbox{ o sea }S = \emptyset$

9.$ \sqrt[4]{(2x-15)^4} = 10$
$\vert 2x-15\vert = 10$$\Leftrightarrow$$\,2x-15 = 10$$\,\,\mbox{o}$$\vert 2x-15\vert = -10$
$\Leftrightarrow$$\,2x = 25$$\,\,\mbox{o}$$2x = 5$
$ \,x = {25\over{2}}$$\,\,\mbox{o}$$ x = {5\over{2}}$


$ .^..\;\;\;S = \left\{{25\over{2}},{5\over{2}}\right\}$

10.$\sqrt{(3-x)^2} = 5$
= 5$\Leftrightarrow$$\,3-x = 5$$\,\,\mbox{o}$$3-x = -5$
$\Leftrightarrow$$\,-x = 2$$\,\,\mbox{o}$$-x = -8$
$\Leftrightarrow$$\,x = -2$$\,\,\mbox{o}$$x = 8$

11.$ \sqrt{(3-2x)^2} + x = 3$


Pero:

$ \vert 3 - 2x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} 3 - 2x & \mbox{ si } & 3 - 2x \geq 0 \\ \\ -(3 - 2x) & \mbox{ si } & 3 - 2x < 0 \\ \end{array}\right.$

$\mbox{Como:}$$3-2x\geq 0$$\Leftrightarrow$$-2x\geq -3$,$\mbox{o sea}$$x\leq {3\over{2}}$
$\mbox{y}$$3-2x<0$$\Leftrightarrow$$-2x<-3$,$\mbox{o sea}$ {3\over{2}}$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img43.gif" width="36" align="middle" border="0">


{3\over{2}} \\ \end{array}\right.$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img271.gif" width="245" align="middle" border="0">
Con esta información construimos la siguiente tabla:


De aquí se tiene que el conjunto solución $ S \mbox{ de } \sqrt{(3-2x)^2}+x = 3\mbox{ es } \{0, 2\}\mbox{ o sea; }S = \{0, 2\}$

11.$ 2\sqrt[4]{(5-4x)^4} = x+2$

Pero: $\;\;\;\vert 5-4x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;5-4x & \mbox{ si } & 5-4x \geq 0 \\ \\ -(5-4x) & \mbox{ si } & 5-4x < 0 \\ \end{array}\right.$

$\mbox{Como:}$$5-4x\geq 0$$\Leftrightarrow$$-4x\geq -5$,$\mbox{o sea}$$ x\leq {5\over{4}}$
$\mbox{y}$$5-4x<0$$\Leftrightarrow$$-4x<-5$,$\mbox{o sea}${5\over{4}}$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img293.gif" width="36" align="middle" border="0">


{5\over{4}} \\ \end{array}\right.$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img294.gif" width="245" align="middle" border="0">
Con esta información construimos la siguiente tabla:


De aquí se tiene que el conjunto solución

$ S \mbox{ de }2\sqrt[4]{(5-4x)^4} = x+3 \mbox{ es } \left\{{8\over{9}}, {12\over{7}}\right\}\mbox{ o sea; } S = \left\{{8\over{9}}, {12\over{7}}\right\}$

Ejercicio 1

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.
2.
3.
4.
5.
6.$2\vert 2x-5\vert = x-3$
7.$3\vert-5x-1\vert = -2x+3$
8.$-1-2\vert 5-3x\vert = x$
9.$ \sqrt[6]{(2x+1)^6} = 3$
10.$ -2\sqrt{(1-7x)^2} = -6$
11.$ \sqrt{(x-2)^2}+3x = 6$
12.$ x+2\sqrt[4]{(x-6)^4} = 5$

Ejemplo 2

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.$2\vert x\vert+\vert x-1\vert = 4$
2.
3.
4.$2\vert 3x-1\vert = \sqrt{(x-7)^2}$
5.$2\vert 2-x\vert+\vert 2x-1\vert = x$
6.$\vert 3-2x\vert+3\vert x+2\vert-x = 0$

Nota: En las ecuaciones que resolveremos a continuación omitiremos algunos pasos al escribir la definición de cada uno de los valores absolutos involucrados.

Solución

1.$2\vert x\vert+\vert x-1\vert = 4$

En este caso se tiene que:

  1. $\vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;x & \mbox{ si } & x\geq 0 \\ \\ -x & \mbox{ si } & x<0 \end{array}\right.$
  2. $\vert x-1\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x-1 & \mbox{ si } & x\geq 1 \\ \\ -(x-1) & \mbox{ si } & x<1 \end{array}\right.$

Con esta información construimos la siguiente tabla:


De aquí se tiene que el conjunto solución de

2.

En este caso se tiene que:

  1. $\vert 2x-3\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;2x-3 & \mbox{ si } & x\geq {3\over{2}} \\ \\ -(2x-3) & \mbox{ si } & x< {3\over{2}} \end{array}\right.$

  2. $\vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;x & \mbox{ si } & x\geq 0 \\ \\ -x & \mbox{ si } & x<0 \end{array}\right.$

Con esta información construimos la siguiente tabla:


De aquí que el conjunto solución de es S, donde

3.

$\,\Leftrightarrow$$ \,\,{{\vert x-1\vert}\over{\vert x+1\vert}}$$=$$2$,$\mbox{por la propiedad 5}$
$\,\Leftrightarrow$$=$$\mbox{(*), con }x \neq -1$
$\,\Leftrightarrow$$\,\vert x-1\vert^2$$=$$(2\vert x+1\vert)^2$
$\,\Leftrightarrow$$\,\vert x-1\vert^2$$=$$4\vert x+1\vert^2$
$\,\Leftrightarrow$$(x-1)^2$$=$$4(x+1)^2$,$\mbox{ por la propiedad 6}$
$\,\Leftrightarrow$$\,x^2-2x+1$$=$$4(x^2+2x+1)$
$\Leftrightarrow$$x^2-2x+1$$=$
$\Leftrightarrow$$-3x^2-10x-3$$=$$0$
$\Leftrightarrow$$3x^2+10x+3$$=$$0$

Resolviendo esta ecuación por fórmula general:

$\triangle$$=$$100-4(3)(3)$
$\triangle$$=$$100-36$
$\triangle$$=$$64$
$x_{1}$$=$$ {{-10+8}\over{6}}$$\Rightarrow$$x_{1} = {-1\over{3}}$
$x_{2}$$=$$ {{-10-8}\over{6}}$$\Rightarrow$$x_{2} = -3$

De aquí se tiene que el conjunto solución de $ \left\vert{{x-1}\over{x+1}} \right\vert= 2 \mbox{ es }S, \mbox{ donde } \\ S = \left\{-3, {-1\over{3}}\right\}$


Nota: A partir de (*) esta ecuación se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en los ejemplos (1) y (2) anteriores.

4.$2\vert 3x-1\vert = \sqrt{(x-7)^2}$
$\Leftrightarrow$$\,2\vert 3x-1\vert$$=$$\vert x-7\vert$$\mbox{(*)(Ver nota anterior)}$
$\Leftrightarrow$$\,(2\vert 3x-1\vert)^2$$=$$\,\vert x-7\vert^2$
$\Leftrightarrow$$\,4\vert 3x-1\vert^2$$=$$\,\vert x-7\vert^2$
$\Leftrightarrow$$\,4(3x-1)^2$$=$$\,(x-7)^2$
$\Leftrightarrow$$\,4(9x^2-6x+1)$$=$$x^2-14x+49$
$\Leftrightarrow$$\,36x^2-24x+4$$=$$x^2-14x+49$
$\Leftrightarrow$$35x^2-10x-45$$=$$0$
$\Leftrightarrow$$7x^2-2x-9$$=$$0$

Resolviendo esta ecuación por fórmula general:

$\triangle$$=$$4-4(7)(-9)$
$\triangle$$=$$4+252$
$\triangle$$=$$256$
$x_{1}$$=$$ {{2+16}\over{14}}$$\Rightarrow$$x_{1}= {9\over{7}}$
$x_{2}$$=$$ {{2-16}\over{14}}$$\Rightarrow$$x_{2} = -1$

$.^..\;\;\;\mbox{ el conjunto soluci\'{o}n de }2\vert 3x-1\vert = \sqrt{(x-7)^2}\mbox{ es } S \mbox{ donde: }S = \left\{ {9\over{7}}, -1\right\}$

5.$2\vert 2-x\vert+\vert 2x-1\vert = x$

En este caso se tiene que:

  1. 2 \end{array}\right.$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img419.gif" width="208" align="middle" border="0">

  2. $\vert 2x-1\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;2x-1 & \mbox{ si } & x\geq {1\over{2}} \\ \\ -(2x-1) & \mbox{ si } & x< {1\over{2}} \end{array}\right.$

Con esta información construimos la siguiente tabla:


De aquí se tiene que el conjunto solución de $2\vert 2-x\vert+\vert 2x-1\vert = x\mbox{ es }S,\mbox{ donde } S = \emptyset$

6.$\vert 3-2x\vert+3\vert x+2\vert-x = 0$

En este caso se tiene que:

  1. {3\over{2}} \end{array}\right.$" src="http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/img450.gif" width="223" align="middle" border="0">

  2. $\vert x+2\vert = \left\{\begin{array}{lcr} \;\;\;\;x+2 & \mbox{ si } & x\geq -2 \\ \\ -(x+2) & \mbox{ si } & x<-2 \end{array}\right.$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

De aquí que el conjunto solución de $\vert 3-2x\vert-3\vert x+2\vert-x = 0\mbox{ es }S,\mbox{ donde } S = \left\{ {-1\over{2}}\right\}$

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